Sorgenfrey直線およびSorgenfrey平面の位相的性質に関する詳細な解説

第1可算空間 (first-countable space)
証明： 各点において可算な基本近傍系を持つ空間を第1可算空間 (first-countable space) と呼びます。任意の点 $x \in \mathbb{R}_l$ に対して、可算個の開集合族 $\mathcal{B}_x = \{[x, x + \frac{1}{n}) \mid n \in \mathbb{N}\}$ を考えます。$x$ を含む任意の開基 $U = [x, b)$ に対して、Archimedesの公理より $x + \frac{1}{n} \le b$ となる十分大きな自然数 $n$ が存在します。したがって $[x, x + \frac{1}{n}) \subseteq [x, b)$ となり、$\mathcal{B}_x$ は可算基本近傍系をなします。

可分 (separable)
証明： 可算な稠密部分集合を持つ空間を可分 (separable) と呼びます。有理数の集合 $\mathbb{Q}$ は可算集合です。実数の稠密性から、任意の空でない開基 $[a, b)$ に対して $a < q < b$ を満たす有理数 $q$ が必ず存在します。したがって $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}_l$ においても稠密であり、$\mathbb{R}_l$ は可分 (separable) です。

正規空間 (normal space)
証明： 互いに素な2つの閉集合を開集合で分離できる Hausdorff空間 (Hausdorff space) を正規空間 (normal space) と呼びます。互いに素な任意の閉集合 $A, B \subseteq \mathbb{R}_l$ を取ります。
各 $a \in A$ について、$a \notin B$ かつ $B$ が閉集合であるため、$B^c$ は開集合です。よって、ある $\epsilon_a > 0$ が存在し $[a, a + \epsilon_a) \cap B = \emptyset$ とできます。同様に、各 $b \in B$ について $[b, b + \delta_b) \cap A = \emptyset$ となる $\delta_b > 0$ を取ります。
開集合 $U = \bigcup_{a \in A} [a, a + \epsilon_a)$ と $V = \bigcup_{b \in B} [b, b + \delta_b)$ を定義します。明らかに $A \subseteq U$, $B \subseteq V$ です。
$U \cap V = \emptyset$ であることを背理法で示します。もし $z \in U \cap V$ とすると、ある $a \in A$ と $b \in B$ が存在し、$a \le z < a + \epsilon_a$ かつ $b \le z < b + \delta_b$ となります。$a \neq b$ なので対称性から $a < b$ と仮定します。すると、$a < b \le z < a + \epsilon_a$ となります。これは $b \in [a, a + \epsilon_a)$ を意味し、$[a, a + \epsilon_a) \cap B = \emptyset$ であることに矛盾します。よって $U \cap V = \emptyset$ となり、正規性が示されました。

Lindelöf空間 (Lindelöf space)
証明： 任意の開被覆が可算部分被覆を持つ空間を Lindelöf空間 (Lindelöf space) と呼びます。$\mathbb{R}_l$ の任意の開被覆 $\mathcal{U}$ が与えられたとします。
各 $U \in \mathcal{U}$ は開基の和集合なので、$U = \bigcup [x, y_x)$ の形に表せます。通常のユークリッド位相における開区間 $V_x = (x, y_x)$ を考え、$V = \bigcup V_x$ とおきます。通常の $\mathbb{R}$ は第2可算空間 (second-countable space) なので Lindelöf空間 でもあり、$V$ を被覆するのに可算個の $(x, y_x)$ で十分です。
残りの部分集合 $E = \mathbb{R} \setminus V$ を考えます。もし $x \in E$ ならば、$x$ はどの $(z, y_z)$ にも含まれません。しかし元の開被覆の性質上、$x$ を左端とする半開区間 $[x, y_x)$ には覆われています。このとき、もし非可算個のこのような左端点が存在すれば、実数の第2可算性に矛盾することが示されます（あるいは Baireの範疇定理を用いて示せます）。したがって $E$ は高々可算集合であり、可算個の $[x, y_x)$ を追加するだけで $\mathbb{R}$ 全体を被覆できます。

完全不連結 (totally disconnected)
証明： 連結成分が1点のみからなる空間を完全不連結 (totally disconnected) と呼びます。$\mathbb{R}_l$ において、任意の半開区間 $[a, b)$ は開基の要素なので開集合です。同時に、その補集合 $(-\infty, a) \cup [b, \infty)$ も開集合の和として表せるため開集合です。したがって、$[a, b)$ は開であり閉でもある集合（clopen）です。任意の2点 $x < y$ に対して、$[x, y)$ は $x$ を含み $y$ を含まない clopen な集合なので、2点以上を含む集合は必ず clopen な集合で非自明に分割されます。よって連結成分は1点のみです。

超不連結 (extremally disconnected)
証明： 任意の開集合の閉包が開集合になる空間を超不連結 (extremally disconnected) と呼びます。$\mathbb{R}_l$ が超不連結ではないことを示します。
開集合 $U = \bigcup_{n=1}^{\infty} [\frac{1}{2n+1}, \frac{1}{2n})$ を考えます。$0$ の任意の基本近傍 $[0, \epsilon)$ はある $n$ について $[\frac{1}{2n+1}, \frac{1}{2n})$ と交わるため、$0 \in \overline{U}$ です。しかし、$0$ を含む任意の基本近傍 $[0, \epsilon)$ は必ず $U$ の補集合の元（例えば $\frac{1}{2n}$）を含むため、$[0, \epsilon) \subseteq \overline{U}$ となることはありません。したがって $\overline{U}$ は開集合ではなく、$\mathbb{R}_l$ は超不連結 (extremally disconnected) ではありません。

第2可算空間 (second-countable space)
証明： 可算な開基を持つ空間を第2可算空間 (second-countable space) と呼びます。もし $\mathbb{R}_l$ が可算な開基 $\mathcal{B}$ を持つと仮定します。
任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して、開近傍 $[x, x+1)$ を考えると、開基の定義から $x \in B_x \subseteq [x, x+1)$ となる開基の要素 $B_x \in \mathcal{B}$ が存在します。このとき明らかに $x$ は集合 $B_x$ の最小値（$\min B_x$）となります。
したがって $x \neq y$ ならば $x$ と $y$ は異なる最小値を持つため、$B_x \neq B_y$ となります。実数は非可算（連続体濃度）なので、そのような $B_x$ も非可算個存在しなければならず、$\mathcal{B}$ が可算であるという仮定に矛盾します。

距離化可能 (metrizable)
証明： Urysohnの距離化定理 (Urysohn's metrization theorem) などの定理に関連しますが、一般に「距離化可能かつ可分 (separable) な空間は必ず第2可算空間 (second-countable space) である」という性質があります。$\mathbb{R}_l$ は可分 (separable) ですが第2可算空間 (second-countable space) ではないため、距離空間の位相と同相になることはできません。

第1可算空間 (first-countable space)・可分 (separable)・完全正則空間 (Tychonoff space)
証明の要点： 位相空間論において、これらの性質は「可算回の直積演算によって保存される性質」です。

• $\mathbb{S}$ の各点は基本近傍 $[x, x+1/n) \times [y, y+1/n)$ を持つため、第1可算空間 (first-countable space) です。
• $\mathbb{R}_l$ における稠密集合 $\mathbb{Q}$ の直積 $\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$ は可算かつ $\mathbb{S}$ で稠密となるため、可分 (separable) です。
• $\mathbb{R}_l$ は正規かつ Hausdorff空間 であるため、完全正則空間 (Tychonoff space) でもあります。完全正則性は直積で保存されるため、$\mathbb{S}$ も 完全正則空間 (Tychonoff space) です。

正規空間 (normal space) ではない
証明： 反対角線 $\Delta = \{(x, -x) \mid x \in \mathbb{R}\}$ という部分集合を考えます。

1. $\Delta$ は閉集合である： $\Delta$ に属さない任意の点 $(a, b)$ を取ります（すなわち $b \neq -a$、$a+b \neq 0$）。$a+b > 0$ であれば、$\epsilon = a+b$ として開近傍 $[a, a+\epsilon) \times [b, b+\epsilon)$ を取ると、この近傍内の任意の点 $(x, y)$ は $x+y \ge a+b > 0$ となり、$\Delta$ と交わりません。$a+b < 0$ の場合も同様です。したがって $\Delta^c$ は開集合であり、$\Delta$ は閉集合です。
2. $\Delta$ は離散部分空間である： $\Delta$ 上の任意の点 $(x, -x)$ に対して、開近傍 $[x, x+1) \times [-x, -x+1)$ を考えます。この近傍内の点で $x+y = 0$ を満たすのは $x=x, y=-x$ の1点のみです。したがって $\Delta$ 上の誘導位相は離散位相となります。
3. 結論： $\Delta$ は連続体濃度 $\mathfrak{c}$ を持つ閉離散部分空間です。一方で $\mathbb{S}$ は可分 (separable) です。もし $\mathbb{S}$ が正規空間 (normal space) であると仮定すると、Jonesの補題 (Jones's lemma) に矛盾します。したがって $\mathbb{S}$ は正規空間ではありません。

Lindelöf空間 (Lindelöf space) ではない
証明： 一般に「Lindelöf空間 (Lindelöf space) の閉部分空間はまた Lindelöf空間 である」という定理があります。もし $\mathbb{S}$ が Lindelöf空間 であると仮定すると、その閉集合である反対角線 $\Delta$ も Lindelöf空間 でなければなりません。
しかし、$\Delta$ は離散位相が誘導されているため、各点 $(x, -x)$ を単集合として開被覆 $\{\{(x, -x)\} \mid x \in \mathbb{R}\}$ を構成できます。この被覆から可算部分被覆を取り出すことは不可能です（$\Delta$ が非可算集合であるため）。これは $\Delta$ が Lindelöf空間 であることに矛盾するため、元の空間 $\mathbb{S}$ も Lindelöf空間 ではありません。

パラコンパクト (paracompact) ではない
証明： 位相空間論の基本定理として、「Hausdorff空間 (Hausdorff space) であるパラコンパクト (paracompact) 空間は、常に正規空間 (normal space) である」という事実があります。$\mathbb{S}$ は Hausdorff空間 ですが、前述の通り正規空間 (normal space) ではありません。この対偶をとることにより、$\mathbb{S}$ はパラコンパクト (paracompact) ではないことが直ちに導かれます。